クーチュラ『論理の代数学』
ルイ・クーチュラ『論理の代数学』（1905; 第２版：1914）から、
冒頭と結論部のみをざっくりと抄訳してみました。
リプリント版がOlmsや、次の出版社から出ています。
Louis Couturat, L'Algebre de la Logique, 2e édition, Réimpression : Albert Blanchard, Paris 1980.
「1. 序論．− 論理の代数学は、ジョージ・ブール（1815-1864）によって基礎が築かれ、エルンスト・シュレーダー（1841-1902）によって発展・改良された。〔クーチュラは本書でこの分野の形式化をさらに推し進める。〕この計算の根本法則は、推論の原理ないし「思考の法則」を表現するために発明されたものである。〔ブールのAn investigation of the Laws of Thoughtという書名にもそれが表れている。〕しかし、この計算を、恣意的に措定されたいくつかの原理に基づく代数学のように、純粋に形式的な観点すなわち数学の観点から考えることができる。この計算が、果たして精神の実在的操作にどの程度まで対応するのかとか、推論に翻訳したり置き換えたりするのが適切なのかという問いは、哲学的な問題である。この問題についてはここでは扱わない。この計算の形式的価値および数学者にとっての関心は、それに与えられる解釈や、論理学的問題になされうるその応用からは全く独立である。ひとことで言えば、われわれはそれを、論理学としてではなく、代数学として提示するのである。〔たとえば、本書で三段論法は、(a < b)(b < c) < (a < c)のように代数学的に表現される。〕」
「60. 結論．− 以上の説明は、主題を汲み尽くすにはほど遠い。それは、論理の代数学の完全な概論であることを主張するものではなく、この学問の初等的な原理と理論を知らしめるものにすぎない。論理の代数学は、固有な法則をもつあるアルゴリズムである。それは、一方で通常の代数学といくつかの面で極めて類似しているが、他方でそれとは非常に異なるものである。たとえば、前者は次数の区別を無視する。トートロジーの法則と吸収律は、そこに大いなる単純化を導入して、数的係数を排除する。それは、あらゆる種類の理論や問題を生じさせうる、またほとんど無際限に発展可能な、形式的計算なのである。
しかし、同時にそれは、ある閉じた体系なので、あらゆる論理を包摂するにはほど遠いことを示すことが大切である。厳密に言えば、それは古典論理〔伝統的なアリストテレス論理学〕の代数学にすぎない。したがって、それは、アリストテレスによって限定された領域、すなわち、概念間の包含関係および命題間の含意関係の領域の内に閉じ込められたままである。たしかに、古典論理は（その誤りや重複を捨象しても）論理の代数学よりもはるかに狭い。それは、三段論法の理論の内にほとんど完全に監禁されていたのであり、今日ではその境界は極めて制限され人工的に見える。それにもかかわらず、論理の代数学は、同じ次元の問題を、より豊かさと一般性をもって扱う以外には何もしない。それは、その包含関係または同一性の関係において考察された集合論以外の何ものでもない。ところで、論理学は、遺伝的概念（クラスの概念）やそうした概念間の包含関係（包摂関係）以外にも、他の多くの種類の概念や関係についても研究せねばならない。ひとことで言えば、それは、ライプニッツが予見し、パースとシュレーダーが築き、ペアノ氏とラッセル氏が決定的な基礎を確立したように思われる、関係の論理学をそのうちに展開するのでなければならない。さて、古典論理と論理の代数学が数学にとってほとんどいかなる有用性もないにもかかわらず、数学は関係の論理学においてその概念と根本原理を見出す。数学の真の論理学とは、関係の論理学である。論理の代数学は、それ自身、個別の数学理論として、純粋論理学に属するものである。というのも、それは、われわれが暗黙的に措定した諸原理に基づくからである。また、それは、代数的ないし記号的表現が可能なものではない。なぜなら、それは、あらゆるシンボリズム〔記号法〕およびあらゆる計算の基礎であるからである〔原註：演繹の原理および置換の原理。『数学の諸原理』Ch. I, Aを見よ。〕こうして、次のように言うことができる。すなわち、論理の代数学は、その形式とその方法とによって、ひとつの数学的論理学である。しかし、それを数学の論理学として採用する必要はないのである。」
追記
M. Loiによる本書の解説の部分も粗訳してみました。
出典は、Encyclopédie philosophique universelle, Les Œuvres philosophiques Dictionnaire
「この小さい概説書は、包摂（inclusion）の形式論理学の革新に着手するものであり、数学の方法に類似した方法によってその推進力を得ている。また、ブールやシュレーダー、ド・モルガン、ヴェン、ポレツキー、ホワイトヘッドらの仕事の主要な結果を知らしめるものである。クーチュラは、ある真なる計算を与えることで、恣意的に措定されたいくつかの原理が、いかにして厳密に連鎖した諸定理や式の全体を演繹するのかを示す。この計算は、項をして概念を表現するものとして考えるか、あるいは命題を表現するものとして考えるかに応じて、二重の解釈を受け取りうる。しかし、それら二重の解釈を与えることができ、それ自身として研究されねばならないものとしての論理体系が、その二重の解釈に前存在するのである。
第一部では、論理の代数学が基づいているところの原理と操作が説明される。その基礎には、定義不可能な第一の概念として、包摂関係が置かれる。それは、概念的解釈においては「内に含まれる」によって、また命題的解釈においては「含意する」によって、定義することなしに翻訳しうる。
次に著者は、普遍的命題や特殊な命題が変数に対して適用された時、いかにして論理関数の積と和についての考察が、それらの命題を翻訳することを許すのかを示す。彼は多変数関数および複数の未知項を含む方程式の理論を展開し、ブールの問題などを扱う。
結論では、クーチュラは論理学が、遺伝的概念（クラスの概念）や包摂関係以外にも他の種類の概念や関係を十分研究せねばならないと明言する。論理学は、ライプニッツが予見し、パースやシュレーダーが築き、ペアノやラッセルが決定的な基礎のもとに確立した関係の論理学において展開されねばならない。数学はこの関係の論理学において、その根本的な諸概念と諸原理を見出す。真の数学の論理学は、関係の論理学なのである。」
